آموزش فيزيك 2 ـ جمع كميت‌هاي برداري

بالاخره امروز يه نيمچه برفي آمد و شهر سفيد پوش شد، اما همه چيز نشان از خشكسالي تابستان پيش رو دارد. خيلي‌ها مي‌گويند اين از ناشكري ماست كه خدا نعمت برف و بارانش را از ما گرفته. خدا رحم كند. خوب! بگذريم! مي‌رسيم به يكي از زيباترين بحث‌هاي كتاب: جمع كميت‌ها برداري.

در شكل بالا دو يدك‌كش در حال كشيدن يك كشتي بزرگتر هستند. اين دو يدك‌كش دو نيروي مساوي بر كشتي وارد مي‌كنند؛ اما كشتي در جهت نيرويي كه آن دو وارد مي‌كنند، حركت نمي‌كند! در ضمن كل نيروي وارد بر كشتي هم برابر با جمع عددي دو نيروي وارد بر آن نيست!

نيرو همانند كميت‌هايي مثل سرعت، جابه‌جايي، شتاب و … كميتي برداري است. جمع كردن كميت‌هاي برداري به سادگي و همانند كميت‌هاي نرده‌اي نيست. به جمع كميت‌هاي برداري، برآيند آن كميت‌ها هم گفته مي‌شود.

برآيند دو كميت برداري خود يك بردار است. بردار برآيند داراي اندازه و جهت است. شما در سال دوم اندازه بردار برآيند را فقط در چند حالت خاص مي‌خوانيد. رابطه كلي براي تعيين اندازه بردار برآيند را سال سوم خواهيد خواند.

اما جهت بردار برآيند را به دو روش مي‌توانيم مشخص كنيم. يكي روش مثلثي و ديگري روش متوازي‌الاضلاع.

الف) روش مثلثي براي تعيين جهت بردار برآيند
براي جمع دو بردار به روش مثلثي، ابتدا يكي از بردارها را به دلخواه انتخاب كرده و آن را از يك نقطه دلخواه، موازي و هم‌اندازه رسم مي‌كنيم. سپس از انتهاي آن، بردار ديگر را موازي و هم‌اندازه رسم مي‌كنيم. بردار برآيند اين دو بردار، برداري است كه از ابتداي بردار اول به انتهاي بردار دوم رسم مي‌شود. به شكل زير دقت كنيد.

در شكل بالا اگر برآيند دو بردار را با d نشان بدهيم، مي‌توانيم بنويسيم

d₁ + d₂ = d

اما دقت كنيد كه از شكل مشخص است داريم

d₁ + d₂ ≠ d

يعني جمع اندازه دو بردار با اندازه بردار برآيند يكي نيست! پس مي‌بينيد كه چقدر جمع بردارها با جمع اعداد جبري فرق دارد.

ب) روش متوازي‌ الاضلاع براي تعيين جهت بردار برآيند
در اين روش دو بردار را ابتدا از يك نقطه دلخواه، موازي و هم‌اندازه رسم مي‌كنيم. سپس از انتهاي هر بردار به موازات بردار ديگر خطي رسم مي‌كنيم تا يك متوازي‌الاضلاعي بدست بيايد. بردار برآيند، در راستاي قطر متوازي‌ الاضلاع از محل رسم دو بردار، رسم مي‌شود. به شكل‌هاي زير دقت كنيد.

روش متوازي الاضلاع براي بردارهاي هم‌راستا كاربرد ندارد. اما روش مثلثي براي تمام موارد قابل استفاده است.

اگر جمع برداري بيش از دو بردار مدنظر باشد، مي‌توانيم به دو روش عمل كنيم:
الف) بردارها را يكي پشت سر هم موازي و هم‌اندازه رسم كنيم و سپس ابتداي بردار اول را به انتهاي بردار آخر رسم مي‌كنيم.
ب) دو تا از بردارها را به اختيار انتخاب مي‌كنيم و برآيند آن دو را بدست مي‌آوريم، سپس برآيند آن را با يكي ديگر از بردارها بدست مي‌آوريم و همينطور الي آخر. به انيميشن زير دقت كنيد.

photo: physicsclassroom.com

در اين انيميشن بردارها پشت سر هم رسم شده‌اند. از شكل‌ها مشخص است اينكه كدام بردار ابتدا رسم شود، تأثيري در نتيجه كار ندارد.

مثال
1. سه بردار a، b و c مطابق شكل زير داده شده‌اند. برآيند اين سه بردار را رسم كنيد.

جواب:
براي پيدا كردن بردار برآيند، يكي از بردارها را به اختيار انتخاب مي‌كنيم و بقيه پشت سر هم رسم مي‌كنيم. مثلاً ما بردار a را انتخاب كرده و بقيه را پشت سر آن رسم كرده‌ايم. به شكل زير دقت كنيد.

بردار R، برآيند برداري اين سه بردار است.

تمرين
1. برآيند دو بردار هم‌جهت دلخواه را با رسم بدست آوريد.

ملاحظات
يكي از مهمترين مباحث كتاب دبيرستان، بحث بردارهاست. كميت‌هاي مهم فيزيك بردار هستند. براي درك بهتر كميت‌هاي برداري اين مبحث رياضياتي را بايد خوب ياد بگيريد. در كنكور سراسري هم معمولاً يك سؤالي از بحث بردارها وجود دارد.